|
Title
|
|
|
|
Topos-theoretic methods in noncommutative geometry
| |
|
Author
|
|
|
|
| |
|
Abstract
|
|
|
|
| In deze thesis bespreken we enkele toepassingen van topostheorie in niet-commutatieve meetkunde. Topossen zijn een veralgemening van topologische ruimten, gedefinieerd als de categorie van schoven op een categorie, ten opzichte van een zogenaamde Grothendiecktopologie. Eerst kijken we naar de categorie van verzamelingen met een actie van de natuurlijke getallen verschillend van nul (onder vermenigvuldiging). Dit is een topos die voorkomt in het werk van Connes en Consani in verband met hun Arithmetic Site. Een van de resultaten in dit deel is een classificatie van de subtopossen met genoeg punten. Vervolgens kijken we naar de de verzameling Mns2 (Z) van 2 ×2-matrices met gehele coëfficiënten, met determinant verschillend van nul. In plaats van de topos hierboven, bestuderen we nu de categorie van verzamelingen met een actie van Mns2 (Z) (onder vermenigvuldiging van matrices). We vinden enkele verbanden met getaltheorie. Zo is de verzameling van punten bijvoorbeeld een dubbel quotiënt dat ook verschijnt in het Langlandsprogramma en in de classificatie van torsievrije abelse groepen van rang 2. Verder is er een link met het vermoeden van Goormaghtigh. We proberen steeds technieken te gebruiken die algemener toepasbaar zijn dan enkel in de twee gevallen hierboven. Om dit te bereiken geven we een classificatie van enkele families van Grothendiecktopologieën voor algemene partieel geordende verzamelingen. Een andere toepassing van topostheorie die we behandelen, situeert zich in de studie van Azumaya-algebra’s. We construeren families van Grothendiecktopologieën op de categorie duaal aan een zekere categorie van Azumaya-algebra’s. Voor de corresponderende topossen kunnen we in een aantal gevallen de punten bepalen in termen van UHF-algebras, of een alternatieve beschrijving geven van de topos via groepacties van een projectieve lineaire groep. We sluiten de thesis af met een bespreking van een veralgemening van het concept topos, gebaseerd op niet-commutatieve Heytingalgebra’s. De hoop is dat deze theorie meer inzicht zou kunnen geven in de niet-commutatieve aspecten van de bovengenoemde voorbeelden. |
| |
|
Language
|
|
|
|
English
| |
|
Publication
|
|
|
|
Antwerp
:
University of Antwerp, Faculty of Science, Department of Mathematics and Computer Science
,
2019
| |
|
Volume/pages
|
|
|
|
124 p.
| |
|
Note
|
|
|
|
:
Le Bruyn, Lieven [Supervisor]
| |
|
Full text (open access)
|
|
|
|
| |
|